Martin Welk

Die Netze des Hyperwürfels

Als Netz eines (gewöhnlichen, dreidimensionalen) Würfels kennt wohl jeder die kreuzförmige Anordnung von sechs aneinander angelegten Quadraten. Ein solches Netz erhält man, wenn man den Würfel an ausreichend vielen Kanten aufschneidet, sodass sich seine Oberfläche anschließend in die Ebene ausbreiten, entfalten lässt. Man kann daher auch – genauer – von einer Entfaltung (vgl. engl. unfolding) des Würfels sprechen.

Das allgemein bekannte Netz des Würfels ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit einer solchen Entfaltung. Seit langem ist bekannt (und durch Fallunterscheidungen leicht zu beweisen), dass ein Würfel insgesamt elf solche Netze besitzt, die sich nicht durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen ineinander umwandeln lassen.

Wenn man sich mit regelmäßigen Polyedern in höherdimensionalen Räumen beschäftigt, liegt es nahe, auch die Netze (Entfaltungen) beispielsweise des vierdimensionalen Würfels (bekannt als Hyperwürfel) zu untersuchen. Ein solches Netz besteht aus acht gewöhnlichen Würfeln im dreidimensionalen Raum.

Ganz analog zu dem bekannten kreuzförmigen Netz des 3D-Würfels gibt es ein Netz des Hyperwürfels, das aus vier in einer Linie aufeinander geschichteten Würfeln besteht, wobei an einem dieser Würfel an den noch freien Seitenflächen rundherum vier weitere Würfel angeklebt sind.

In einem Buch von Martin Gardner aus den achtziger Jahren (Mathematischer Karneval, erschienen bei Ullstein) findet sich eine höchst lesenswerte Betrachtung über den Hyperwürfel und seine Netze. Dort steht unter anderem zu lesen, dass das Problem der Anzahl inkongruenter solcher Netze ungelöst sei. Bei der erstmaligen Lektüre dieses Buches, als Oberschüler (ca. 1986), versuchte ich mich erfolglos daran, das Problem zu lösen. Ein erster Versuch mit Rechnerhilfe scheiterte. Danach versuchte ich einen graphentheoretischen Zugang – die Würfel eines Netzes bilden ja einen Baum (also einen Graphen ohne geschlossene Ketten von Kanten) mit 8 Knoten. Diese Bäume lassen sich mit etwas Mühe einigermaßen schnell auflisten. Allerdings gehören zu den meisten Bäumen mehrere Netze, und bei deren Abzählen verliert man schnell den Überblick.

Mit einer zusätzlichen Überlegung hat aber Mitte der achtziger Jahre Peter Turney das Problem gelöst. Sein sehr schöner Artikel
Peter Turney: Unfolding the Tesseract. Journal of Recreational Mathematics, 17 (1), 1984–85
ist anscheinend die erste veröffentlichte Herleitung der korrekten Anzahl. Turney nutzt den graphentheoretischen Ansatz und findet eine geschickte Art, die Netze zu einem gegebenen Baum durchzuzählen, die sich bei einiger Sorgfalt mit Bleistift und Papier handhaben lässt.

Diesen Artikel habe ich aber erst 2004 gefunden. In der Zwischenzeit hatte ich 2001 – dank schneller gewordener Rechner und hoffentlich auch selbst etwas schlauer geworden – mit einer abendlichen Programmiersitzung die Zahl 261 samt einer Liste der Netze gefunden.

Bilder

Hier gibt es die Bilder der Netze Nr. 1–261 im Vektorgrafikformat SVG (scalable vector graphics), das in modernen Browsern darstellbar sein sollte.


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